هل يمكن تحويل معادلات أينشتاين إلى قانون نيوتن؟

عرفت النظرية النسبية العامة لأينشتاين كأفضل نظرية للجاذبية لأكثر من قرن. ولكن هل يمكننا اختزالها مرة أخرى إلى قانون نيوتن؟

على الرغم من أن أينشتاين شخصية أسطورية في العلم لأسباب عديدة — مثل معادلة E = mc²، والتأثير الكهروضوئي، وفكرة أن سرعة الضوء ثابتة للجميع — إلا أن اكتشافه الأكثر ديمومة هو أيضًا الأقل فهمًا: نظريته عن الجاذبية، النسبية العامة. قبل أينشتاين، كنا نفكر في الجاذبية من منظور نيوتني: أن كل جسم في الكون له كتلة يجذب كل كتلة أخرى بشكل فوري، ويعتمد ذلك على قيمة كتلتهما، وثابت الجاذبية، ومربع المسافة بينهما. لكن تصور أينشتاين كان مختلفًا تمامًا، حيث قام على فكرة أن الزمان والمكان متحدان في نسيج واحد يُسمى الزمكان، وأن انحناء الزمكان يخبر المادة والطاقة كيف تتحرك داخله.

على الرغم من هذه الاختلافات المفاهيمية، فإنه في جميع الحالات العملية تقريبًا، تعطي معادلات أينشتاين وقانون نيوتن للجاذبية الكونية تنبؤات متطابقة. فهل يعني ذلك أنه يمكن اختزال معادلات أينشتاين إلى قوانين نيوتن؟ هذا ما يريد جيمس ريموند معرفته، حيث يسأل:

“يبدو وكأنه من قبيل الصدفة المدهشة أن معادلات أينشتاين تعطي نفس النتائج تقريبًا مثل قانون نيوتن للجاذبية. المحاضرات الشعبية عن الجاذبية لا تتعامل مع هذا الأمر. أشك في أن تكون هذه صدفة. هل يمكن إجراء تغيير بسيط في معادلات أينشتاين لجعلها تختزل إلى قانون نيوتن؟”

إنه سؤال رائع، وإجابته معقدة بعض الشيء. ومع ذلك، يمكننا تعديل معادلات أينشتاين لاستعادة قانون نيوتن. لكن لا، هذا التغيير ليس “بسيطًا”؛ فهو يتطلب تجاهل الجانب الأكثر أينشتاينية في النظرية: مبدأ النسبية نفسه. إليك ما يعنيه كل هذا.

قانون نيوتن للجاذبية الكونية
ربما يكون قانون نيوتن للجاذبية الكونية هو أفضل نقطة للبدء، لأنه بسيط ومباشر. ينص القانون، كما توضح المعادلة أعلاه، على أن أي جسمين في الكون، طالما أن لكل منهما كتلة (m1 وm2)، ويُفصل بينهما مسافة معينة (r)، فإنهما سيجذبان بعضهما البعض (الإشارة السالبة) بقوة تساوي ثابت الجاذبية (G) مضروبًا في كلتا الكتلتين (m1 وm2) ولكن مقسومًا على مربع المسافة (r²) التي تفصل بين الكتلتين. الجيد في هذا القانون هو أنه سهل الحساب: معظم طلاب المدارس الثانوية يتعلمون كيفية حسابه بسهولة.

القوة (F) الناتجة عن الجاذبية تظهر أيضًا في معادلة نيوتن الشهيرة الأخرى: F = ma، أو تساوي الكتلة مضروبة في التسارع. بالنسبة لمعظم التطبيقات التي يمكننا تخيلها، تعمل قوانين نيوتن بشكل رائع. لكن هذا فقط لأننا، في تجربتنا اليومية، نتعامل مع:

• مسافات كبيرة نسبيًا،
• كتل صغيرة نسبيًا،
• وسرعات ضئيلة مقارنة بسرعة الضوء.

إذا قمت بتغيير أي (أو، الأسوأ، كل) من هذه الافتراضات، فإن معادلات نيوتن لم تعد قادرة على وصف الكون بشكل جيد. هذا هو الوقت الذي نحتاج فيه إلى الانتقال إلى النسبية العامة لأينشتاين.

النسبية العامة لأينشتاين
الفكرة الأساسية للنسبية العامة هي: أن المادة والطاقة تخبر الزمكان كيف ينحني، وأن الزمكان المنحني بدوره يخبر المادة والطاقة كيف تتحرك. على الرغم من أنك قد تكون سمعت هذا مرات عديدة من قبل، إلا أنه عندما طرحه أينشتاين لأول مرة في عام 1915، كان يمثل رؤية ثورية جديدة للكون. بعد أربع سنوات من طرح أينشتاين لأفكاره، تم اختبارها خلال كسوف شمسي كلي: حيث اتفق انحناء ضوء النجوم القادم من مصادر خلف الشمس المكسوفة مع تنبؤات أينشتاين وليس نيوتن. ومنذ أكثر من 100 عام، اجتازت النسبية العامة كل اختبار رصدي وتجريبي قمنا به.

معادلات أينشتاين، الموضحة أعلاه، تبدو بسيطة، حيث توجد فقط بضعة رموز. لكنها معقدة للغاية.

• الأول، Gμν، يُعرف باسم موتر أينشتاين ويمثل انحناء الفضاء.
• الثاني، Λ، هو الثابت الكوني: كمية من الطاقة، موجبة أو سالبة، متأصلة في نسيج الفضاء نفسه.
• الثالث، gμν، يُعرف باسم المقياس، والذي يرمّز رياضيًا خصائص كل نقطة داخل الزمكان.
• الرابع، 8πG/c⁴، هو مجرد حاصل ضرب الثوابت ويُعرف باسم ثابت الجاذبية لأينشتاين، وهو نظير ثابت الجاذبية لنيوتن (G) الذي نعرفه جميعًا.
• الخامس، Tμν، يُعرف باسم موتر الإجهاد-الطاقة، ويصف الطاقة، الزخم، والإجهاد المحلي في ذلك الزمكان.

هذه المصطلحات الخمسة، المرتبطة ببعضها البعض من خلال ما نسميه معادلات أينشتاين الميدانية، تكفي لربط هندسة الزمكان بكل المادة والطاقة داخله: وهي السمة المميزة للنسبية العامة.

لماذا نحتاج إلى 16 معادلة؟
قد تتساءل عن سبب وجود كل هذه الرموز الفرعية — تلك التركيبات الغريبة من الحروف اليونانية “μν” التي تراها أسفل موتر أينشتاين، والمقياس، وموتر الإجهاد-الطاقة. في أغلب الأحيان، عندما نكتب معادلة، نكتب معادلة قياسية، أي معادلة تمثل مساواة واحدة، حيث مجموع كل شيء على الجانب الأيسر يساوي كل شيء على الجانب الأيمن. لكن يمكننا أيضًا كتابة أنظمة من المعادلات وتمثيلها بصيغة واحدة بسيطة ترمّز هذه العلاقات.

E = mc² هي معادلة قياسية لأن الطاقة (E)، الكتلة (m)، وسرعة الضوء (c) جميعها لها قيم فردية وفريدة. لكن قانون نيوتن F = ma ليس معادلة واحدة بل ثلاث معادلات منفصلة: Fx = max للاتجاه “x”، Fy = may للاتجاه “y”، وFz = maz للاتجاه “z”. في النسبية العامة، حقيقة أن لدينا أربعة أبعاد (ثلاثة أبعاد مكانية وواحد زمني) بالإضافة إلى رمزين فرعيين، يعني أن هناك ليس معادلة واحدة، ولا حتى ثلاث أو أربع. بدلاً من ذلك، لدينا كل بعد من الأبعاد الأربعة (t، x، y، z) يؤثر على كل من الأبعاد الأربعة الأخرى (t، x، y، z)، ليصبح المجموع 4 × 4، أو 16 معادلة.

لماذا نحتاج إلى كل هذه المعادلات؟
لأن الهندسة معقدة، ولأننا نعمل في أربعة أبعاد، ولأن ما يحدث في بعد واحد، أو حتى في مكان واحد، يمكن أن ينتشر ويؤثر على كل مكان في الكون، إذا سمحنا بمرور الوقت الكافي. كوننا، بثلاثة أبعاد مكانية وبعد زمني واحد، يعني أن هندسة الكون يمكن معالجتها رياضيًا كمتشعب رباعي الأبعاد.

في الهندسة الريمانية، حيث لا يُشترط أن تكون المتشعبات مستقيمة وصلبة ولكن يمكن أن تكون منحنية بشكل تعسفي، يمكنك تقسيم هذا الانحناء إلى جزأين: أجزاء تشوه حجم الجسم وأجزاء تشوه شكله. جزء “ريتشي” هو الذي يشوه الحجم، ويلعب دورًا في موتر أينشتاين، حيث يتكون موتر أينشتاين من موتر ريتشي والقياس القياسي لريتشي، مع بعض الثوابت والمقياس. جزء “ويل” هو الذي يشوه الشكل، وبشكل غير بديهي، لا يلعب أي دور في معادلات أينشتاين الميدانية.

معادلات أينشتاين الميدانية
معادلات أينشتاين الميدانية ليست معادلة واحدة، بل مجموعة من 16 معادلة مختلفة: واحدة لكل تركيبة من “4 × 4”. عندما يتغير أحد مكونات الكون، مثل الانحناء المكاني في أي نقطة أو اتجاه، قد تتغير كل المكونات الأخرى استجابة لذلك. هذا الإطار، بطرق عديدة، يأخذ مفهوم المعادلة التفاضلية إلى مستوى جديد.

المعادلة التفاضلية هي أي معادلة حيث يمكنك:

1. تقديم الشروط الأولية لنظامك، مثل ما هو موجود، وأين ومتى يكون، وكيف يتحرك،
2. ثم يمكنك إدخال هذه الشروط في المعادلة التفاضلية،
3. وستخبرك المعادلة كيف تتطور هذه الأشياء مع الزمن، متحركة إلى اللحظة التالية،
4. حيث يمكنك إدخال هذه المعلومات مرة أخرى في المعادلة التفاضلية، وستخبرك بما يحدث بعد ذلك، في اللحظة التالية.

إنه إطار عمل قوي للغاية وهو السبب الذي جعل نيوتن يحتاج إلى اختراع التفاضل والتكامل حتى تصبح أشياء مثل الحركة والجاذبية مجالات علمية مفهومة. في الواقع، F = ma نفسها معادلة تفاضلية، حيث إذا أعطيت المواضع الأولية، السرعات، والكتل لجميع الأجسام في نظام في أي لحظة زمنية، يمكن لقوانين نيوتن أن تخبرك بمواضع وسرعات تلك الأجسام في أي نقطة في المستقبل.

الاختلافات بين معادلات أينشتاين ونيوتن
معادلات أينشتاين التفاضلية مختلفة، ومع ذلك. عندما نبدأ بالتعامل مع النسبية العامة، فإنها ليست مجرد معادلة واحدة أو حتى سلسلة من المعادلات المستقلة التي تنتشر وتتطور في بُعدها الخاص. بدلاً من ذلك، لأن ما يحدث في اتجاه أو بُعد واحد يؤثر على جميع الاتجاهات الأخرى، لدينا 16 معادلة مترابطة ومعتمدة على بعضها البعض، ومع تحرك الأجسام وتسارعها عبر الزمكان، يتغير موتر الإجهاد-الطاقة وكذلك الانحناء المكاني.

ومع ذلك، فإن هذه “المعادلات الـ16” ليست فريدة تمامًا! أولاً، موتر أينشتاين متماثل، مما يعني أن هناك علاقة بين كل مكون يقترن باتجاه مع آخر. على وجه الخصوص، إذا كانت إحداثياتك الأربعة للزمان والمكان هي (t، x، y، z)، فإن:

• المكون “tx” سيكون مكافئًا للمكون “xt”،
• المكون “ty” سيكون مكافئًا للمكون “yt”،
• المكون “tz” سيكون مكافئًا للمكون “zt”،
• المكون “yx” سيكون مكافئًا للمكون “xy”،
• المكون “zx” سيكون مكافئًا للمكون “xz”،
• والمكون “zy” سيكون مكافئًا للمكون “yz”.

فجأة، لم يعد هناك 16 معادلة فريدة بل فقط 10.

بالإضافة إلى ذلك، هناك أربع علاقات تربط انحناء هذه الأبعاد المختلفة معًا: هويات بيانكي. من بين المعادلات الـ10 الفريدة المتبقية، فقط ستة منها مستقلة، حيث تقلل هذه العلاقات الأربع العدد الإجمالي للمتغيرات المستقلة أكثر. قوة هذا الجزء تمنحنا الحرية لاختيار أي نظام إحداثيات نريده، وهو بالضبط قوة النسبية: كل مراقب، بغض النظر عن موقعه أو حركته، يرى نفس قوانين الفيزياء، مثل نفس قواعد النسبية العامة.

خصائص أخرى لمعادلات أينشتاين
هناك خصائص أخرى لهذه المجموعة من المعادلات ذات أهمية كبيرة. على وجه الخصوص، إذا أخذت تباعد موتر الإجهاد-الطاقة، فستحصل دائمًا على صفر، ليس فقط بشكل عام، ولكن لكل مكون على حدة. هذا يعني أن لديك أربع تناظرات: لا تباعد في البعد الزمني أو أي من الأبعاد المكانية، وكلما كان لديك تناظر في الفيزياء، يكون لديك أيضًا كمية محفوظة.

في النسبية العامة، تترجم هذه الكميات المحفوظة إلى طاقة (للبعد الزمني)، وكذلك الزخم في الاتجاهات x، y، وz (للأبعاد المكانية). بهذه الطريقة، على الأقل محليًا في محيطك القريب، يتم حفظ الطاقة والزخم للأنظمة الفردية. على الرغم من أنه من المستحيل تعريف أشياء مثل “الطاقة العالمية” بشكل عام في النسبية العامة، إلا أنه بالنسبة لأي نظام محلي داخل النسبية العامة، تظل الطاقة والزخم محفوظين في جميع الأوقات؛ إنه شرط من النظرية.

استعادة قانون نيوتن
نظرية نيوتن تحافظ فقط على الطاقة والزخم تحت تلك الظروف منخفضة السرعة التي لا تحدث بالقرب من كتلة كبيرة. يمكنك فقط استعادة معادلات نيوتن من معادلات أينشتاين بتجاهل 15 من أصل 16 مكونًا من موتر أينشتاين: فقط العنصر الأول (tt)، عنصر “الطاقة”، يمكن أن يكون غير صفري، وهذا فقط تقريب جيد مع كتل صغيرة، مسافات كبيرة، وسرعات منخفضة.

الطبيعة غير الخطية للنسبية العامة
خاصية أخرى للنسبية العامة تختلف عن معظم النظريات الفيزيائية الأخرى هي أن النسبية العامة، كنظرية، غير خطية. إذا كان لديك حل لنظريتك، مثل “كيف يكون الزمكان عندما أضع كتلة نقطية واحدة”، فقد تميل إلى قول شيء مثل: “إذا وضعت كتلتين نقطيتين، فيمكنني دمج الحل للكتلة #1 والكتلة #2 والحصول على حل آخر: الحل لكلتا الكتلتين معًا.”

هذا صحيح، ولكن فقط إذا كانت لديك نظرية خطية. جاذبية نيوتن نظرية خطية: مجال الجاذبية هو مجال الجاذبية لكل جسم مضاف معًا ومتراكب فوق بعضه البعض. كهرومغناطيسية ماكسويل مشابهة: يمكن حساب المجال الكهرومغناطيسي لشحنتين، تيارين، أو شحنة وتيار بشكل فردي وإضافتها معًا لإعطاء المجال الكهرومغناطيسي الصافي. هذا صحيح أيضًا في ميكانيكا الكم، حيث أن معادلة شرودنغر خطية (في دالة الموجة).

لكن معادلات أينشتاين غير خطية، مما يعني أنك لا تستطيع فعل ذلك. إذا كنت تعرف انحناء الزمكان لكتلة نقطية واحدة، ثم وضعت كتلة نقطية ثانية وسألت: “كيف ينحني الزمكان الآن؟” لا يمكننا كتابة حل دقيق. في الواقع، حتى اليوم، بعد أكثر من 100 عام من طرح النسبية العامة لأول مرة، لا يزال هناك حوالي 20 حلًا دقيقًا معروفًا في النسبية العامة، والزمكان بكتلتين نقطيتين ليس واحدًا منهم.

الخلاصة
في النهاية، يمكننا استعادة قانون نيوتن للجاذبية من معادلات أينشتاين، ولكن فقط بتجاهل معظم جوانب النظرية الأكثر تعقيدًا. يتطلب ذلك افتراض سرعات منخفضة، ومسافات كبيرة، وكتل صغيرة. ومع ذلك، فإن النسبية العامة تظل النظرية الأكثر شمولًا ودقة لوصف الجاذبية، خاصة في الظروف القاسية مثل بالقرب من الثقوب السوداء أو في الكون الواسع.

لذا، بينما يمكننا اختزال معادلات أينشتاين إلى قانون نيوتن في ظروف محددة، فإن النسبية العامة تظل النظرية الأكثر اكتمالًا لفهم الجاذبية في الكون.